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已知函数 $f(x) = (x+5)^{\frac{1}{2}}$，则 $f(x)$ 的定义域是（ ）。
A. $(-5, +\infty)$
B. $[-5, +\infty)$
C. $(-\infty, -5)$
D. $(-\infty, +\infty)$
答案：B
解析：函数 $f(x) = (x+5)^{1/2} = \sqrt{x+5}$。对于偶次根式，要求被开方数非负，即 $x+5 \ge 0$，解得 $x \ge -5$。用区间表示为 $[-5, +\infty)$。
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当 $x \to 0$ 时，$e^{\tan x} - e^x$ 是 $x^2$ 的（ ）。
A. 高阶无穷小
B. 低阶无穷小
C. 等价无穷小
D. 同阶非等价无穷小
答案：A
解析：对式子进行变形和泰勒展开：
$$e^{\tan x} - e^x = e^x(e^{\tan x - x} - 1)$$
当 $x \to 0$ 时，$e^x \to 1$。
根据泰勒公式，$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，所以 $\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}$。
又因为 $e^u - 1 \sim u$，令 $u = \tan x - x$，
所以 $e^{\tan x} - e^x \sim 1 \cdot (\tan x - x) \sim \frac{1}{3}x^3$。
因为 $x^3$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小（$\lim_{x\to 0}\frac{x^3}{x^2}=0$），故选 A。
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极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x \ln(x+1)} =$ （ ）。
A. 1
B. -1
C. 0
D. $\infty$
答案：A
解析：利用等价无穷小代换。当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \sim x$。
$$\text{原式} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x \cdot x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1$$
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$x=0$ 是函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x+2, & x > 0 \end{cases}$ 的（ ）。
A. 跳跃间断点
B. 可去间断点
C. 第二类间断点
D. 连续点
答案：A
解析：考察 $x=0$ 处的左右极限：
左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$；
右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+2) = 2$。
因为左右极限都存在但不相等 ($0 \ne 2$)，所以 $x=0$ 是第一类间断点中的跳跃间断点。
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设 $f(x) = (2x+1)^4$，则 $f'(0) =$ （ ）。
A. 1
B. 4
C. 8
D. 16
答案：C
解析：利用复合函数求导法则（链式法则）：
$$f'(x) = 4(2x+1)^3 \cdot (2x+1)' = 4(2x+1)^3 \cdot 2 = 8(2x+1)^3$$
代入 $x=0$：
$$f'(0) = 8(2\cdot 0 + 1)^3 = 8 \cdot 1^3 = 8$$
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已知函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases} x = \ln t \\ y = t^8 + 4 \end{cases}$ 确定，则 $\frac{dy}{dx} =$ （ ）。
A. $4t^4$
B. $\frac{1}{4t^4}$
C. $\frac{t^3+4}{t^2}$
D. $8t^8$
答案：D (注：原题选项可能有误，请以计算为准)
解析：根据参数方程求导公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$。
$$\frac{dy}{dt} = (t^8+4)' = 8t^7$$
$$\frac{dx}{dt} = (\ln t)' = \frac{1}{t}$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{8t^7}{1/t} = 8t^8$$
（注：若原选项A为 $8t^8$ 则选A，若题目意图是考察 $y=t^4$ 则答案不同。此处严格按计算结果应为 $8t^8$，原html中A选项解析得 $4t^4$ 与题干不符，这里给出正确计算过程）。
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若函数 $y = 2x^3 - 3x^2 + 1$，则（ ）。
A. y的极大值是1
B. y的极大值是0
C. y的最大值是1
D. y没有极值
答案：A
解析：求导找驻点：$y' = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$。
令 $y'=0$，得驻点 $x_1=0, x_2=1$。
二阶导数判别：$y'' = 12x - 6$。
当 $x=0$ 时，$y''(0) = -6 < 0$，函数取得极大值，极大值为 $y(0) = 1$。
当 $x=1$ 时，$y''(1) = 6 > 0$，函数取得极小值，极小值为 $y(1) = 0$。
故选 A。
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若函数 $f'(x)$ 连续，则下列等式正确的是（ ）。
A. $\int f'(x)dx = f(x)dx$
B. $\int df(x) = f(x)$
C. $\frac{d}{dx}\int f(x)dx = f(x)$
D. $d\int f(x)dx = f(x)$
答案：C
解析：
A 错：$\int f'(x)dx = f(x) + C$，且结果不应带 $dx$。
B 错：$\int df(x) = \int f'(x)dx = f(x) + C$，少了常数 $C$。
C 对：不定积分求导还原被积函数。
D 错：$d\int f(x)dx = f(x)dx$，微分形式应包含 $dx$。
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微分方程 $y' + y - x = 0$ 的通解是 $y =$ （ ）。
A. $x + Ce^{-x}$
B. $x + Ce^x$
C. $x - 1 + Ce^{-x}$
D. $x + Ce^x - 1$
答案：C
解析：方程化为标准一阶线性形式 $y' + y = x$。
这里 $P(x)=1, Q(x)=x$。
通解公式：
$$y = e^{-\int 1 dx} \left( \int x e^{\int 1 dx} dx + C \right) = e^{-x} \left( \int x e^x dx + C \right)$$
计算积分 $\int x e^x dx$ (分部积分法) $= xe^x - e^x$。
所以 $y = e^{-x} (xe^x - e^x + C) = x - 1 + Ce^{-x}$。
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下列级数绝对收敛的是（ ）。
A. $\sum (-1)^n \frac{1}{n^2}$
B. $\sum (-1)^{n-1} \frac{n^4}{n+1}$
C. $\sum (\frac{1}{\sqrt{n}-1} - \frac{1}{\sqrt{n}+1})$
D. $\sum (-1)^{n-1} \frac{1}{\ln n}$
答案：A
解析：
A项：取绝对值后为 $\sum \frac{1}{n^2}$，是 $p=2 > 1$ 的p级数，收敛，故原级数绝对收敛。
B项：一般项不趋于0，级数发散。
C项：通项化简约为 $2/n^{0.5}$，发散。
D项：取绝对值后 $\sum \frac{1}{\ln n} > \sum \frac{1}{n}$，发散，故D仅条件收敛。
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设 $f(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 3x^2 - 2x + 1, & x \ge 0 \end{cases}$，则 $f[f(0)] =$ 2。
解析：
第一步，求内层 $f(0)$：由于 $0 \ge 0$，代入第二段表达式，$f(0) = 3(0)^2 - 2(0) + 1 = 1$。
第二步，求 $f[1]$：由于 $1 \ge 0$，再次代入第二段表达式，$f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$。
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极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x^2-3x+2} =$ 4。
解析：这是 $\frac{0}{0}$ 型极限。
分子分解：$x^2-4 = (x-2)(x+2)$
分母分解：$x^2-3x+2 = (x-2)(x-1)$
$$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-1} = \frac{2+2}{2-1} = 4$$
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设 $f(x) = \begin{cases} 3x+a, & x \le 0 \\ 2x^2+1, & 0 < x \le 1 \\ \frac{b}{x}, & x > 1 \end{cases}$ 在$x=0$和$x=1$处连续，则 $ab =$ 3。
解析：
在 $x=0$ 处连续：$\lim_{x \to 0^-}(3x+a) = \lim_{x \to 0^+}(2x^2+1) \Rightarrow a = 1$。
在 $x=1$ 处连续：$\lim_{x \to 1^-}(2x^2+1) = \lim_{x \to 1^+}(\frac{b}{x}) \Rightarrow 3 = b$。
所以 $ab = 1 \times 3 = 3$。
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设曲线 $y=ke^x$ 在 $x=0$ 处的切线斜率为2，则常数 $k =$ 2。
解析：斜率即导数值。$y' = (ke^x)' = ke^x$。
在 $x=0$ 处，$y'(0) = k \cdot e^0 = k$。
由题意 $y'(0) = 2$，故 $k=2$。
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设 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 7$，则 $f(x)$ 的凹区间是 $(2, +\infty)$。
解析：求二阶导数。
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
$f''(x) = 6x - 12$
凹区间满足 $f''(x) > 0$，即 $6x - 12 > 0 \Rightarrow x > 2$。
故凹区间为 $(2, +\infty)$。
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记 $\Phi(x) = \int_0^x (x-t)\cos t \,dt$，则 $\Phi'(x) =$ $\sin x$。
解析：将 $x$ 提出来（积分变量是 $t$）：
$\Phi(x) = x\int_0^x \cos t dt - \int_0^x t\cos t dt$
利用乘积求导法则和变上限积分求导：
$\Phi'(x) = [1 \cdot \int_0^x \cos t dt + x \cdot \cos x] - [x \cos x]$
$\Phi'(x) = \int_0^x \cos t dt = [\sin t]_0^x = \sin x$。
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若 $\int f(x)dx = e^x + C$，则不定积分 $\int f(x)e^x dx =$ $\frac{1}{2}e^{2x} + C$。
解析：
由 $\int f(x)dx = e^x + C$ 两边求导得 $f(x) = (e^x)' = e^x$。
则待求积分为 $\int e^x \cdot e^x dx = \int e^{2x} dx$。
凑微分：$= \frac{1}{2} \int e^{2x} d(2x) = \frac{1}{2}e^{2x} + C$。
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由 $y=x^2$ 与 $x=2$ 及 $x$ 轴围成的平面图形的面积是 8/3。
解析：图形位于 $x$ 轴上方，积分区间为 $[0, 2]$。
$S = \int_0^2 x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_0^2 = \frac{1}{3}(2^3 - 0) = \frac{8}{3}$。
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向量 $\mathbf{a}=\{1,2,1\}$ 与向量 $\mathbf{b}=\{2,2,1\}$ 的夹角余弦是 7 / (3\sqrt{6})。
解析：利用点积公式 $\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}$。
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1\times2 + 2\times2 + 1\times1 = 2+4+1 = 7$。
$|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2+2^2+1^2} = \sqrt{6}$。
$|\mathbf{b}| = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = \sqrt{9} = 3$。
$\cos \theta = \frac{7}{3\sqrt{6}}$。
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已知函数 $z=z(x,y)$ 的全微分 $dz = axy^2 dx - 3x^2y dy$，则 $a =$ -3。
解析：根据全微分形式 $dz = P dx + Q dy$，这里 $P = axy^2, Q = -3x^2y$。
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ (二阶混合偏导相等)：
$\frac{\partial P}{\partial y} = 2axy$
$\frac{\partial Q}{\partial x} = -6xy$
所以 $2axy = -6xy \Rightarrow 2a = -6 \Rightarrow a = -3$。
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计算极限 $\lim_{x \to \infty} (\frac{x^2+1}{x^2})^{x^2+1}$
解析：这是 $1^\infty$ 型极限。利用公式 $\lim (1+\alpha)^\frac{1}{\alpha} = e$。
$$ \text{原式} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x^2})^{x^2+1} $$
$$ = \lim_{x \to \infty} \left[ (1 + \frac{1}{x^2})^{x^2} \right]^{\frac{x^2+1}{x^2}} $$
底数极限：$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x^2})^{x^2} = e$。
指数极限：$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2} = 1$。
故原式 $= e^1 = e$。
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设 $y=y(x)$ 是由 $y = 2 + x \sin y$ 确定的函数，求 $\frac{dy}{dx}$。
解析：方程两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）：
$$ y' = 0 + (1 \cdot \sin y + x \cdot \cos y \cdot y') $$
整理方程：
$$ y' = \sin y + x y' \cos y $$
$$ y'(1 - x \cos y) = \sin y $$
解得：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin y}{1 - x \cos y} $$
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求不定积分 $\int (1+3x)^2 dx$。
解析：方法一（展开）：
$\int (1 + 6x + 9x^2) dx = x + 3x^2 + 3x^3 + C$。
方法二（凑微分/换元）：
令 $u = 1+3x$，则 $du = 3dx \Rightarrow dx = \frac{1}{3}du$。
原式 $= \int u^2 \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^3}{3} + C = \frac{1}{9}(1+3x)^3 + C$。
(注：两种结果形式不同但本质只差常数，均正确)。
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求定积分 $\int_0^1 x e^{2x} dx$。
解析：使用分部积分法。令 $u=x, dv=e^{2x}dx$，则 $du=dx, v=\frac{1}{2}e^{2x}$。
$$ \int_0^1 x e^{2x} dx = [x \cdot \frac{1}{2}e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2}e^{2x} dx $$
$$ = (\frac{1}{2}e^2 - 0) - \frac{1}{2}[\frac{1}{2}e^{2x}]_0^1 $$
$$ = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}(e^2 - 1) $$
$$ = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4} $$
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已知二元函数 $z = \frac{xy}{1+y^2}$，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$。
解析：先求 $\frac{\partial z}{\partial x}$（此时视 $y$ 为常数）：
$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{1+y^2} \cdot (x)' = \frac{y}{1+y^2} $$
再对 $y$ 求导（利用商的求导法则）：
$$ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{1+y^2} \right) $$
$$ = \frac{1 \cdot (1+y^2) - y \cdot (2y)}{(1+y^2)^2} $$
$$ = \frac{1+y^2-2y^2}{(1+y^2)^2} = \frac{1-y^2}{(1+y^2)^2} $$
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已知 $df(x) = e^{x^2} dx$，求曲线 $y=f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内的凹凸区间。
解析：由微分定义 $df(x) = f'(x)dx$ 可知 $f'(x) = e^{x^2}$。
凹凸性由二阶导数 $f''(x)$ 决定。
$$ f''(x) = (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x $$
由于 $e^{x^2}$ 恒大于0，所以 $f''(x)$ 的符号由 $2x$ 决定。
当 $x < 0$ 时，$f''(x) < 0$，曲线为凸（向上凸/上凸）；
当 $x > 0$ 时，$f''(x) > 0$，曲线为凹（向下凹/下凸）。
故凸区间为 $(-\infty, 0)$，凹区间为 $(0, +\infty)$。